سلسله درس‌گفتارهایی در باب «نقد و دانش»

درس اول: مروری بر مفاهیم بنیادی در تاریخ ریاضیات و فیزیک

امیرحسین طاهری‌نژاد

(این متن در فصلنامه تخصصی ادبیات داستانی و شعر معاصر “داستان شیراز” – سال سوم– شماره دوازدهم–تابستان ۱۳۹۹– منتشر شده است.)

نخست، در باب مواجهۀ فلسفه با ریاضیات:

در این دوره به ریاضی، فیزیک و فلسفه مستقل از یکدیگر نگاه نمی‌کنیم. همچنین بر تأثیرگذاری هریک بر دیگری و به جریاناتی که در دل هریک از این حوزه‌ها شکل می‌گیرند، خواهیم پرداخت.

در یونان مجادله بر سر آن بود که آیا ریاضیات از اعداد شروع می‌شوند یا از اشکال و روابط هندسی؟ ابتدایی‌ترین نوع فکر کردن به ریاضیات این است که آن را یک مجموعه از اعداد تصور کنیم. فیثاغورس یکی از اولین ریاضی‌دانانی است که در تاریخ یونان شناخته شده است. به عقیدۀ فیثاغوریان اعداد اساس و بنیاد جهان را شکل می‌بخشند. آنان بر روی نظریۀ اعداد و ارتباطی که بین هر واحد عددی وجود دارد مطالعه می‌کردند. آن‌ها این واحد‌های عددی را تحت‌عنوان کم منفصل می‌شناختند. کم منفصل یعنی در فاصلۀ بین عدد 2 و عدد 3 هیچ عدد دیگری وجود ندارد و از همین تکرار و افزودن اعداد به یکدیگر است که در حقیقت می‌توان بی‌نهایت عدد تولید کرد. چون این واحدها از هم گسسته بودند اعداد را در یونان کم منفصل می‌نامیدند. در مقابل، کم متصل هم وجود داشت که در واقع اشکال هندسی بودند مثل: دایره، مربع و… در نظریۀ کم متصل یا همان اشکال هندسی همواره یک پیوستگی وجود دارد و هیچ فضای گسسته و فاصله‌ای در طول اضلاع اشکال هندسی وجود ندارد. اما بین این کمیت‌های متصل و کمیت‌های منفصل در یونان همواره یک ارتباط رازآمیزی وجود داشته است.

تا همین امروز هم ریاضی‌دانان نتوانسته‌اند این ارتباط رازآمیز را بین کمیت‌های متصل و منفصل پیدا و تناقضات و معضلات آن را حل کنند. حتی در دل ریاضیات معاصر هم این ارتباط رازآمیز بین این دو کمیت ایجاد بحران کرده است.

در یونان ریاضی‌دان‌هایی که روی کم منفصل کار می‌کردند، یعنی روی اعداد، از قضا اعداد را از طریق شکل‌های هندسی به‌دست می‌آوردند. یعنی خود فیثاغوریان هم دو دایره را با یکدیگر برخورد می‌دادند و دو مرکز دایره‌ها را به‌هم وصل می‌کردند و آن را عدد 1 می‌نامیدند، دو نقطه متقاطع دیگر را به‌هم وصل می‌کردند و عدد 2 را می‌ساختند و به همین‌ ترتیب با وصل نقاط مختلف دو دایرۀ متقاطع و ایجاد مثلث عدد 3 و با وصل نقاط دیگر و ایجاد مربع عدد 4 بوجود می‌آمد و به همین ترتیب با ایجاد پنج‌ضلعی درون دو دایره عدد 5 بوجود می‌آمد. به همین روش از طریق اشکال هندسی سایر اعداد را نیز تولید می‌کردند. در یونان هندسه‌دان‌ها مجاز به استفاده از دو وسیله بودند: یکی پرگار و دیگری سَتّاره. سَتّاره خط‌کشی است که عدد ندارد. فقط از طریق آن می‌شود خطوط مستقیم را ترسیم کرد و هیچ‌وقت از طریق سَتّاره نمی‌توان طول یک پاره‌خط را اندازه گرفت. دریونان پرگار و سَتّاره تنها ابزار مجاز برای ترسیم اشکال هندسی بوده است. همان طور که گفته شد فیثاغوریان به اعداد باور داشتند و معتقد بودند که جهان از اعداد تشکیل شده است. ولی خود اعداد را از طریق کمیت‌های متصل تولید می‌کردند. فیثاغوریان در پنج‌حوزه کار می‌کردند. یکی از این حوزه‌ها اپتیک یا نورشناسی بوده است. چرا که نور خط مستقیم را طی می‌کند و به باور یونانی‌ها غیر از نور هیچ‌چیز دیگری خط مستقیم را طی نمی‌کند. هرچیزی که با هر دقتی ساخته شود باز هم اعوجاج هرچند کوچکی در آن وجود دارد. آن‌ها معتقد بودند نور در عالم هستی فقط مسیر مستقیم را می‌پیماید. حوزۀ دیگری که برای فیثاغوریان جذاب بوده موسیقی است. مثلا در تار یا ستار و این دست از سازها یکسری پرده وجود دارد که این پرده‌ها نسبت‌های عددی مشخصی با هم دارند و در یک فاصله عددی مشخصی نسبت به‌هم قرار گرفته‌اند که اگر ما دستمان را در آن نقاط قرار دهیم یک‌نوای موزونی را می‌شنویم. آن‌ها به این می‌اندیشیدند که چه ارتباطی بین نسبت‌های عددی و آواهای موزون و زیبا هست. حوزۀ دیگر فعالیت فیثاغوریان ستاره‌شناسی بوده است. آن‌ها به این نتیجه رسیده بودند که ستاره‌ها با فواصل و نسبت‌های عددی خاصی از یکدیگر در آسمان قرار دارند.

برعکس، کسانی که در یونان به کمیت‌های متصل قائل بودند و بر روی فضاهای پیوسته کار می‌کردند و این کمیت‌ها را اساس عالم می‌دانستند، به‌شکلی عجیب دائما درگیر اعداد در مقام کم منفصل می‌شدند. به‌عنوان مثال اولین جایی که ارتباط ضروری کم منفصل و کم متصل در آن آشکار می‌شد زوایای یک مثلث است که مجموع آن باید 180درجه بشود، یا زوایای یک‌مربع یا یک‌دایره که 360درجه است. در مربع به‌دلیل مساوی بودن 4 ضلع مشکلی بوجود نمی‌آمد اما در مثلث این ویژگی برقرار نبود و نمی‌توانستند سه‌ضلع مثلث را باهم مساوی بدانند. بنابراین زمانی که این سؤال پیش می‌آمد که کدام ضلع بزرگ‌تر است و کدام کوچک‌تر و به چه اندازه ناگهان مجبور می‌شدند از اعداد در مقام کم منفصل برای بیان کمیت‌های متصل «هندسی» استفاده کنند. برای این کار اندازه‌ای دل‌بخواهی را به‌عنوان طول واحد در نظر می‌گرفتند و هرضلع را براساس آن طول واحد فرضی اندازه می‌گرفتند که به این عمل عاد کردن می‌گفتند. یعنی هر ضلع چند تا از آن طول مبنا را دربردارد و بالطبع هرکدام از اضلاع با تعداد متفاوتی از آن واحد‌های مبنا به‌صورت کامل پوشانده می‌شد. در یونان اعداد از یک شروع نمی‌شدند. چراکه بر این باور بودند که خود یک مشخص نیست که چه اندازه است. مثلا هنگامی که از یک سخن می‌گوییم مشخص نیست از 1 سانتی‌متر یا 1 متر یا یک‌ شیء حرف می‌زنیم، از این رو چون یک میزان و اندازۀ مشخصی ندارد به آن لفظ عدد را اطلاق نمی‌کردند. آن‌ها یک را به‌مثابۀ واحد در نظر می‌گرفتند و اعداد را از 2 شروع می‌کردند. اما در مورد عدد 2 این‌طور تفسیر می‌کردند که عدد 2 از تکرار همان واحد یک به‌دست می‌آید، برای همین مقدار و اندازۀ عدد 2 مشخص است. اما واحد یک را ابتدا باید مشخص ساخت که می‌خواهیم آن را چه اندازه‌ای فرض بگیریم.

به مرور زمان دریونان این ایده که جهان از اعداد تشکیل شده است کم‌رنگ شد و ذره‌ذره کمیت‌های متصل در فضای فکری یونان جای خود را باز کردند. افلاطون که بزرگ‌ترین ایده‌پرداز کم متصل بود با فیثاغوریان که شکل‌گیری جهان را براساس اعداد می‌دانستند از در مخالف در آمد. افلاطون بر این باور بود که جهان از شکل‌های هندسی تشکیل شده است. از نظر او شکل‌های هندسی ویژگی‌های چیزها را بیان می‌کردند. مثلا چیزهای شیرین ذرات‌شان کروی است و چیزهای ترش ذرات‌شان مثلثی شکل است و به‌دلیل همین زوایای تند و تیز آن‌ها ترش احساس می‌شوند. زیرا اتم‌های تشکیل دهندۀ آن‌ها در حقیقت مثلثی است. هنگامی که از عناصر تشکیل دهنده جهان یعنی عناصر اربعه «آب، باد، خاک و آتش» یاد می‌کردند، هرکدام از آن‌ها یک شکل هندسی خاص را بازنمایی می‌کرد. آب مرتبط با شکل هندسی بیست‌وجهی منتظم پنداشته می‌شد، خاک به‌واسطۀ هشت‌وجهی منتظم که شکلی استوار داشت بازنمایی می‌شد و آتش با چهاروجهی منتظم که گوشه‌های تیز داشت. یکی از مهم‌ترین کشفیات افلاطون این بود که توانست ثابت کند که در جهان تنها پنج شکل منتظم وجود دارد: چهاروجهی منتظم، هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی‌ منتظم، شش‌وجهی منتظم و بیست‌‌وجهی منتظم. اثبات اینکه این پنج شکل منتظم تنها اشکال هندسی منتظم موجود در جهان می‌باشد یک کشف بسیار مهم برای یونانیان بود. افلاطون به هرکدام از عناصر اربعه یکی از این چند وجهی‌ها را نسبت داد. اما یکی از اشکال منتظم اضافه می‌آمد و عنصری نبود که به آن منصوبش کنند. بعدها ارسطو به‌نوعی این مسئله را حل کرد. او شکل پنجم که دوازده‌وجهی منتظم است را به‌شکل کلی افلاک و کیهان نسبت داد. یعنی شکل کلی کیهان در تمامیت خودش دوازده وجهی است. کلیه اشکال هندسی منتظم مثل مکعب که تمامی وجوه‌شان با هم برابر و یکسان است دارای مرکز هستند. سؤال بعدی این بود که اگر جهان دوازده‌وجهی منتظم است، پس مرکز جهان کجاست؟ جواب این سؤال در گرو فهم یونانیان از مسئله حرکت بود. اینکه اجسام چگونه و چرا حرکت می‌کنند؟ ارسطو نظریه‌ای در باب حرکت دارد که در طول تاریخ تا زمان نیوتن نقد جدی‌ای به آن وارد نمی‌شود. نیوتون اولین خدشۀ جدی را به نظریه ارسطو در باب حرکت وارد کرد. ارسطو تصور می‌کرد که اجسام با پیروی از ویژگی‌های درونی‌شان حرکت می‌کنند. او گفت: چرا وقتی سنگی رها می‌شود این سنگ سقوط می‌کند و به‌سمت پایین حرکت می‌کند، ولی یک حباب که از جنس هوا است در آب به‌سمت بالا حرکت می‌کند. ارسطو پرسید چرا حرکت این دو نوع ماده برعکس یکدیگر هستند. ارسطو ویژگی درونی خاک را این می‌دانست که به‌سمت مرکز جهان حرکت می‌کند و چون سنگ از جنس خاک است پس به‌سمت زمین که مرکز جهان است حرکت می‌کند. در آن زمان کروی بودن زمین کشف شده بود و زمین را به‌عنوان یک سنگ معلق در فضا می‌دانستند. ارسطو استدلال می‌کرد اگر در هر نقطه از کره زمین سنگی را رها کنیم باز هم به‌سمت مرکز زمین حرکت می‌کند. به‌نظر می‌رسد ارسطو برای توجیه نوع حرکت سنگ که سقوط به‌سمت مرکز زمین است، داشت ذره‌ذره به این نتیجه می‌رسید که کرۀ زمین مرکز جهان است. زیرا از هرطرف که چیزی را رها کنید به‌سمت مرکز زمین سقوط می‌کند. در ابتدا تصور بر این بود که زمین بر روی لاک یک لاک‌پشت قرار دارد و به همین دلیل زمین که خود سنگ بزرگی است، در فضا سقوط نمی‌کند. 600 سال قبل از میلاد فیلسوفی به نام آناکسیماندر با مشاهدات نجومی خود اعلام کرد که کرۀ زمین یک تکه سنگ معلق در فضا است. بر همین مبنا بعدها ارسطو توانست استدلال کند که اگر فرض بر این باشد که کرۀ زمین سنگی معلق در فضا است پس باید یک شکل هندسی برای آن متصور شویم و مناسب‌ترین شکل هندسی برای یک سنگ معلق در فضا کره است. آن‌ها کرۀ زمین را به‌شکل هندسی دایره در فضا ترسیم کردند که از قضا درست از کار درآمد. پس تا بدین‌جا دیدیم این ایده که زمین مرکز جهان است، از نوع فهم یونانی‌ها از حرکت و ارتباط آن با اشکال هندسی بوجود آمد. آن‌ها از طریق فهمی که از حرکت به‌دست آورده بودند و این ایده که شکل کلی جهان یک دوازده‌وجی منتظم است به این سؤال رسیده بودند که مرکز جهان کجاست؟ اگر زمین مرکز کیهان باشد پس می‌توان مسئله انواع متفاوت حرکت را توضیح داد. پاسخ اینکه چرا نوع حرکت سنگ سقوط به‌سمت مرکز زمین است اما مسیر حرکت حباب در آب به‌سمت بالا است، از مرکز قرار دادن زمین در قلب کیهان به‌دست می‌آمد. هوا که یکی ازعناصر اربعه است و ویژگی درونی آن این است که از مرکز زمین گریزان باشد، بنابراین حرکت حباب به‌سمت بالاست. آب یکی دیگر از عناصر اربعه می‌باشد که تمایل به مرکز زمین دارد ولی نه به‌شدت خاک. آتش نیز تمایل به گریز از مرکز زمین دارد ولی با شدت بیشتری از هوا. به همین دلیل ارسطو بر این باور بود که در مرکز کره زمین خاک قرار دارد چون بیشترین تمایل را به مرکز جهان دارد. روی سطح کره زمین آب وجود دارد چون تمایل کمتری به نسبت خاک به مرکز جهان دارد. اطراف کره زمین هوا است چون هوا از مرکز جهان گریزان است و آتش بیشترین گریز را از مرکز زمین دارد پس بالاتر قرار می‌گیرد. مثلا خورشید یک کرۀ آتشین است که از اتمسفر کره زمین هم دورتر قرار گرفته است. اما باز هم تکلیف کره ماه نامشخص می‌ماند چون ماه را می‌توان یک کره خاکی دیگری محسوب کرد و با این حساب باید برروی کره زمین سقوط بکند. پس این سؤال ایجاد شد که چرا سیارات دیگر بر روی کره زمین سقوط نمی‌کنند؟ برای حل این سؤال ارسطو مجبور شد تفکر چهار وجهیش را به تفکر پنج وجهی تغییر بدهد. او از ماده‌ای به نام اثیر یاد می‌کند که ویژگی آن چرخش آزادانه حول مرکز زمین می‌باشد. برای همین سایر کرات و سیارات آزادانه به‌واسطۀ ماده اثیر دور کره زمین که مرکز جهان است درحال چرخش هستند. اما بعدها این نظریه توسط گالیله رد شد و به همین دلیل گالیله توسط کلیسا به اعدام محکوم شد. کوپرنیک نیز مانند گالیله جرئت نکرد بگوید زمین در مرکز کیهان نیست. او گفت اگر ما بخواهیم زمین را مرکز کیهان بدانیم محاسبات حرکت سایر کرات بسیار سخت و طاقت فرسا می‌شود. از این رو اعلام کرد برای سهولت در محاسبات نجومی و صرفا به‌صورت فرضی خورشید را در مرکز قرار می‌دهیم. او فقط برای آنکه محاسباتش را ساده کند خورشید را در مرکز فرض کرده بود زیرا او نیز مانند گالیله اگر زمین را در مرکز جهان نمی‌پنداشت محکوم به اعدام می‌شد. بنابراین کوپرنیک به کلیسا اعلام کرد که مرکز قرار دادن خورشید تنها به‌دلیل ساده کردن و دقت محاسبه حرکت سیارات است. بعدها کپلر و تیکو براهه صراحتا اعلام می‌کنند که خورشید واقعا در مرکز قرار دارد و سایر سیارات به دور خورشید می‌چرخند.

گفتیم که در یونان با روش اختیار یک طول فرضی در مقام واحد طول، طول اضلاع اشکال هندسی را اندازه می‌گرفتند و برای آنکه اعداد همیشه اعداد طبیعی باشند و با عددهایی مثل 5/0 مواجه نشوند واحد‌ها را بزرگ و کوچک می‌کردند و به این شکل طول واحد را تنظیم می‌کردند که کاملا برروی اضلاع قرار بگیرد. در حقیقت آن‌ها با بزرگ و کوچک کردن واحدها، طول اضلاع هندسی را اندازه گیری می‌کردند. اما فیثاغوریان به کشفی عجیب رسیدند، که برای سیصدسال از آن در مقام یک راز شدیدا محافظت می‌کردند و تنها تعداد اندکی از مقامات بلند پایه فیثاغوریان از این راز اطلاع داشتند. در تاریخ یونان آمده هرزمان افراد عادی از این راز مطلع می‌شدند به‌نوعی به قتل می‌رسیدند زیرا آن‌ها از افشا شدن این راز می‌ترسیدند. شماری از ریاضی‌دان‌ها در یونان به‌خاطر پی بردن به این راز توسط فیثاغوریان کشته شدند.

 این راز در مثلث قائم الزاویه بود. فیثاغوریان به این نتیجه رسیده بودند که هر چقدر واحد طول را بزرگ و یا کوچک کنند زمانی که یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین پیش‌روی ماست با آن طول واحدی که دو ضلع قائمه را عاد می‌کند، نمی‌توان وتر آن مثلث را اندازه گرفت. به تعبیر آن‌ها جهان از اعداد شکل گرفته بود اما در این مثلث طول هندسی وتر با هیچ واحد طولی هماهنگ نبود. پس آن‌ها به‌مرور داشتند به کشفی می‌رسیدند که جهان مبتنی بر اعداد نیست و اگر این راز افشا می‌شد کل آموزه‌های فیثاغوریان نابود می‌شد. فیثاغوریان متوجه شده بودند که اگر طول ضلع مربع را یک اختیار کنند، طول قطر مربع برابر رادیکال 2 می‌شود و مقدار دقیق رادیکال 2 برای‌شان نامشخص بود.

چندین قرن بعد در یونان اعداد گویا را پیدا کردند. در حقیقت آن‌ها به این نتیجه رسیدند که از تقسیم عددهایی مانند 5 بر 2 حاصل تقسیم یک عدد صحیح نیست و جواب 5/2 می‌شود و این عدد قابل ساده کردن نیست. در مسئلۀ تقسیم، آن‌ها به این موضوع پی بردند که می‌توانند ما بین اعداد صحیح اعدادی دیگر هم قرار بدهند. وزن یک شیء خود یک مثال دیگر از ضرورت اعداد گویا بود. مثلا با اضافه کردن به وزن شیء اعداد غیر صحیح حاصل می‌شد مثل 03/2 کیلو یا 37/7 کیلو. پس تصمیم گرفتند اعداد گویا را میان اعداد صحیح قرار دهند و به اندازه‌گیری‌های دقیق‌تری در وزن برسند.

تا قبل از افلاطون یعنی قرن 5 قبل از میلاد یونانی‌ها اعداد اصمی مانند رادیکال 2 یا عدد پی را صرفا نسبت‌های هندسی می‌دانستند. در حقیقت آن‌ها می‌دانستند که عددی مانند رادیکال 2 عددی ست که از 1 بزرگ‌تر و از 2 کوچک‌تر است، اما دقیقا نمی‌دانستند که چقدر. آیا رادیکال 2 عدد است یا خیر؟ و اگرعدد است دقیقا چقدر؟ همین معضلات باعث می‌شد آن‌ها اعداد اصم را نسبت‌های هندسی تصور کنند که پدیده‌هایی مربوط به کمیت‌های متصل می‌شدند. اگرچه اکنون در فاصلۀ میان اعداد صحیح در مقام کمیت‌های منفصل، اعداد گویا قرار گرفته بود و به همین دلیل فضای ما بین اعداد به‌شدت پر و متراکم شده بود، اما همچنان جای اعداد گنگ که تعدادشان هم کم نبود در میان سایر اعداد خالی بود. از این رو همچنان نمی‌توانستند به این ایده دست بیابند که اعداد خودشان کمیت‌های متصل‌اند. معضل اعداد گنگ این بود که برخلاف طول هندسی مشخص، اندازۀ عددی نامشخصی داشتند.

اولین ریاضی‌دان یونانی که اعلام کرد اعداد کمیتی متصل هستند شخصی به نام ادوکس (370 ق‌م) بود. ادوکس گفت این درست است که نمی‌توان مقدار دقیق اعداد گنگ را تشخیص داد ولی چون این اعداد طول هندسی مشخصی دارند همچون یک پاره‌خط ثابت با طول مشخص می‌توان جای ثابت و معینی را مابین سایر اعداد به آن‌ها اختصاص داد. درواقع او می‌گفت چون اعداد گنگ طول هندسی مشخصی دارند می‌توان به آن طول یک عدد نسبت داد حتی اگر اعداد گنگ را نشود مثل اعداد گویا نوشت. وقتی ادوکس اعداد گنگ را با اعداد صحیح و اعداد گویا در کنار هم قرار داد برای اولین‌بار به ایدۀ خط‌کش دست یافت و ستاره تبدیل به خط‌کش شد. خط‌کش یک چوب مدرج است که هر نقطۀ آن را که انتخاب کنیم تنها یک عدد مشخص به ما می‌دهد، یا به‌عبارت دیگر، به ازای هر نقطه برروی یک خط تنها یک عدد وجود دارد و به ازای هر عدد تنها یک نقطه برروی آن وجود دارد. در اینجا اتفاقی در حال رخ دادن است. خط که تا کنون یک کمیت متصل هندسی بود اکنون توانسته است با اعداد که کمیتی منفصل بودند یکی شود. به عبارت دقیق‌تر اعداد دیگر کمیتی منفصل نبودند و این آغاز معضلاتی در تاریخ ریاضیات شد که تا به امروز هم دست از گریبانش بر نداشته است.

اگر نقطه را از هر جهت ادامه دهیم خط تشکیل می‌شود. خط یک شکل هندسی است پس یک کم متصل است. هر خط از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده است. ارسطو نیز تعریف نقطه را مطرح می‌کند. او در ابتدا می‌پرسد نقطه چیست؟ نقطه چیزی است که نه طول دارد، نه ارتفاع و نه عرض. ولی اگر همان نقطه را امتداد بدهیم به خط با یک طول مشخص می‌رسیم، اگر طول را روی جهت عمود بر خودش ادامه دهیم به صفحه می‌رسیم و اگر صفحه را روی جهت عمود بر خودش ادامه دهیم به حجم می‌رسیم. ولی بنیان تشکیل دهنده همۀ آن‌ها نقطه است. نقطه چون از حجم، مساحت و طول کوچک‌تر است هیچ‌کدام از این ویژگی‌ها را نباید داشته باشد. در ریاضیات به یک‌شیوه ایدۀ ساخت نقطه را این گونه مطرح می‌کنند: اگر یک دایره فرضی داشته باشیم و شعاع این دایرۀ فرضی را صفر اختیار کنیم، محیط این دایره برروی مرکزش قرارمی‌گیرد. پس نقطه، دایره‌ای است که مرکز، شعاع و محیط آن یکی است و هرسه برروی هم قرار گرفته‌اند.

 هنگامی که ادوکس ایدۀ خط‌کش را ابداع کرد این امر بدان معنا بود که هرنقطه در مقام یک عدد بر روی پاره‌خط به نقطۀ کنار خود در مقام عددی دیگر متصل است و مابین اعداد پیوستگی وجود دارد.

اما ارسطو با یک مسئله درگیر بود. وی می‌گفت اگر نقطه را یک دایره با شعاع صفر فرض کنیم و اگر برروی خط بی‌نهایت از این دایره‌ها با شعاع صفر به‌هم متصل باشند که خط را تشکیل داده‌اند، پس حرکت برروی پاره‌خط ناممکن است. چرا که اگر از هر نقطه تعداد معینی نقطه را بشماریم و به جلو حرکت کنیم به‌دلیل اینکه طول شعاع تک‌تک آن نقاط صفر بوده است پس در حقیقت هیچ حرکتی انجام نشده است. بنابراین هیچ جابه‌جایی اتفاق نیفتاده است، حتی اگر میلیاردها میلیارد نقطه هم آن‌سوتر حرکت کنیم باز هم جابه‌جایی صورت نگرفته است. پس ارسطو اعلام کرد که حرکت برروی خط ناممکن است. این نتیجه‌گیری به این دلیل است که نقطه طول و عرض و ارتفاع ندارد اما سایر اشکال هندسی را می‌توان با امتداد دادن آن ساخت. این تناقض همچنان در دل ریاضیات مدرن نیز وجود دارد و هنوز هم رفع نشده است. ریاضیات و فیزیک معاصر پر از تناقض هستند و ما صرفا این تناقضات را نادیده گرفته‌ایم. زیرا توانسته‌ایم که یکسری کارایی از آن‌ها بگیریم و از یک سری محاسبات غیردقیق برای زندگی روزمره استفاده کنیم. اما در یونان همین ایده‌های متناقض در ریاضیات و فیزیک باعث گردید که ایده‌هایی فلسفی که به همان اندازه متناقض بودند نیز شکل بگیرد. این امر به‌مرور ما را به این شک خواهد انداخت که آیا فیزیک، ریاضی و فلسفه برای ما همچنان حامل معرفتی خواهند بود؟ و این معرفت در کجاها قابل‌اطمینان است و در کجاها قابل اتکا نیست.

ارسطو به این نتیجه رسید که اگر نقاط مثل دایره‌هایی با شعاع صفر باشند که به یکدیگر متصل هستند پس حرکت ناممکن است. زیرا برروی میلیاردها نقطه می‌توان حرکت کرد و جلو رفت ولی در عمل هیچ حرکتی هم انجام نشده باشد. پس ارسطو به این نتیجه رسید که اگر بخواهیم واقعا حرکتی اتفاق بیافتد باید نقاط فاصله‌ای نسبت به یکدیگر داشته باشند که حرکت بتواند در فاصلۀ بین دو نقطه اتفاق بیافتد نه برروی خود نقطه در مقام دایره‌ای با شعاع صفر. در واقع حرکت در فاصلۀ بین نقاط رخ می‌دهد نه روی خود نقاط، چون نقاط که طول ندارند.

 سؤال بعدی این بود که اگر قرار باشد نقاط به‌هم متصل نباشند و از هم فاصله‌ای داشته باشند، فاصلۀ بین دو نقطه چقدر است؟ آیا اساسا این سؤال را به‌شکل معناداری می‌توان مطرح کرد؟ از یک سمت ادوکس می‌گوید بین نقاط فاصله و فضای خالی وجود ندارد چرا که به‌ازای هر نقطه و مکانی که برروی خط معین سازیم یک عدد مشخص برای آن وجود دارد و از سمت دیگر ارسطو تأکید می‌کند اگر بخواهیم روی خط حرکت اتفاق بیافتد و بتوانیم روی آن به جلو یا عقب حرکت کنیم باید بین نقاط فاصله وجود داشته باشد. در اینجا تناقضی در حال شکل‌گیری است که مدام در طول تاریخ ریاضیات لاپوشانی می‌شود.

هر ایده‌ای که درارتباط با اشکال هندسی و اعداد در یونان وجود داشت هماره با تناقضاتی همراه بود. این تناقضات زمانی ایجاد می‌شدند که ریاضی‌دانان سعی می‌کردند کم متصل و کم منفصل را یکی بدانند و آن‌ها را در هم ادغام کنند. یعنی مثلا زمانی که ایدۀ خط‌کش ابداع شد. اما ارسطو همچنان از دل تاریخ فریاد می‌زند که خط کش یک پدیده جعلی است، چرا که همواره بی‌نهایت فضای خالی مابین نقاط وجود دارند، یعنی فواصل و نقاطی بر روی خط کش وجود دارد که هیچ عددی را نمی‌شود به آن‌ها نسبت داد. وقتی یک مربع کشیده می‌شود و ما آن را یک کم متصل می‌نامیم هیچ تناقضی دیده نمی‌شود چرا که ما نمی‌خواهیم برروی مربع حرکتی بکنیم. زمانی که ما می‌خواستیم کمیت‌های منفصل یعنی اعداد را به کمیت‌های متصل یعنی اشکال هندسی ارتباط دهیم این تناقضات ایجاد شدند. تناقضاتی که تا به امروز حل نشده‌اند و فقط نادیده گرفته شده‌اند. چون اشکال هندسی باید با اعداد اندازه‌گیری شوند و زمانی که این کار انجام می‌شود در واقع ما ماهیت منفصل اعداد را نادیده می‌گیریم.

سال‌ها بعد، لایب نیتز در قرن 17 مجددا همان مسئله ارسطو را مجددا مورد بازاندیشی قرار داد. لایب نیتز نیز همانند ارسطو مجذوب همین فاصله و فضای خالی بین نقاط شده بود و می‌پرسید این فاصله چقدر است و ماهیت این فضای خالی چیست؟ لایب نیتز معتقد بود این فاصلۀ خالی بین نقاط از هر عددی کوچک‌تر است اما در عین حال صفر هم نیست. پس فواصلی وجود دارد که از هر عددی کوچک‌تر هستند اما صفر هم نیستند و این برای لایب نیتز اساس ابداع مفهوم حد و حساب دیفرانسیل گردید و بعد‌ها وسیعا ریاضیات را تحت‌تأثیر خود قرار داد و منشا مجادلات و مباحث فراوانی شد.