مروری بر مفاهیم بنیادی در تاریخ ریاضیات و فیزیک «درس دوم»
امیرحسین طاهری‌نژاد
(این متن در فصلنامه تخصصی ادبیات داستانی و شعر معاصر “داستان شیراز” – سال چهارم– شماره سیزدهم–پاییز ۱۳۹۹– منتشر شده است.)
یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم در تاریخ ریاضیات و فیزیک خودِ مفهوم عدد است. اگر بخواهیم به ماهیت اعداد بپردازیم «عدد چیست؟» باید گفت اولین ایده‌ای که در مورد اعداد وجود دارد، مسئله شمارش است.
آزمایشاتی که بر روی نوزادان انجام شده نشان می‌دهد، اگر در مقابل نوزادان سه‌چهار روزه، سه شیء قرار بدهیم، مثلا سه‌بطری بعد پرده‌ای را روی سه‌بطری بیاندازیم و دوباره پرده را برداریم، نوزادان هیچ واکنشی نشان نمی‌دهند. بعد پرده را دوباره بر روی بطری‌ها قرار دهیم، یکی از بطری‌ها را حذف کنیم و این بار که پرده را برمی‌داریم تنها دو بطری به نوزادها نشان داده می‌شود. در این مواقع نوزادان چند لحظه بیشتر به بطری‌ها خیره می‌شوند. این عمل به این معنا بود که نوزادها متوجه تغییر در تعداد آن بطری‌ها شده بودند. در این قبیل آزمایشات که به‌گونه‌های متفاوتی صورت گرفته، محققان به این نتیجه رسیدند که کم‌وزیاد شدن اعدادِ کوچک‌تر از سه را نوزادان سه‌چهار روزه متوجه می‌شوند و تا چهارماهگی به توانایی جمع و تفریق بسیار ابتدایی دست می‌یابند. در حقیقت جمع کردن اعداد یکی از کارکردهای ذهن است و ذهن انسان به‌شکل ابتدایی از توانایی جمع و تفریق برخوردار است. اما توانایی ذاتی ذهن هنوز چیزی درباره ماهیت اعداد به ما نمی‌گوید. به تعبیر دیگر از یک‌منظر، اعداد ماهیت ادراکی دارند. یعنی ما پنج‌عدد سیب را مشاهده و ادراک می‌کنیم و سپس به آن تعداد سیب، عدد پنج را نسبت می‌دهیم. اما هنگامی که اعداد را برای اندازه‌گیری مسافت به کار می‌بریم، این وجه ادراکی اعداد تضعیف می‌شود، به این دلیل که برای اندازه‌گیری مسافت باید یک نقطۀ فرضی را مبدا اندازه‌گیری و از این رو صفر در نظر بگیریم. صفر را دیگر نمی‌شود مورد مشاهده و ادراک قرار داد. از این رو صفر را باید یک مفهوم اعتباری در نظر گرفت، به عنوان نمونه کویر لوت به اعتبار داشتن گیاه صفر می‌باشد. صفر در حقیقت یک مسئلۀ اعتباریست نه ادراکی. همین مسئله در مورد اعداد خیلی بزرگ هم وجود دارد، مثل بی‌نهایت، که مشخصا ماهیت ادراکی ندارند و به‌طور کلی اعتباری‌اند. اما همچنان معضل عدد صفر پابرجا می‌ماند، برای نمونه یک‌قطعه صابون که در حال کوچک‌تر شدن است و به‌سمت صفر و نیست شدن میل می‌کند یک مسئله ادراکی باقی می‌ماند. تا آخرین لحظه می‌توان تحلیل رفتن و نیست شدن آن قطعه صابون را مورد ادراک قرار داد، تا آخرین دمی که وجود دارد. با همین مثال‌های ساده متوجه می‌شویم چرا هنوز ماهیت اعداد و اینکه ادراکی هستند یا اعتباری، تصمیم‌ناپذیر باقی مانده است.
اما اعداد به غیر از ماهیت، از ویژگی‌هایی نیز برخوردار‌اند. یکی از ویژگی‌های اعداد، پدیدۀ جابه‌جایی است. اعداد در حساب خاصیت جابه‌جایی دارند، بدین‌صورت که 1+2=2+1 . اما در مورد همین مثال ساده هم مسئله به این سادگی نیست. نکته اینجاست که اگر مدل‌سازی فیزیکی را سرلوحۀ کارمان قرار دهیم می‌توانیم به اعداد خاصیت جابه‌جایی را نسبت دهیم، بدین‌معنی که فرقی نمی‌کند که ما درون یک ظرف یک عدد سیب را به دو عدد سیب دیگر بیافزاییم، و یا برعکس، از هر دو روش نهایتا درون ظرف سه عدد سیب خواهیم داشت. اما اگر بخواهیم از مدل‌سازی شیمیایی استفاده کنیم این بار فرق می‌کند که اول آب را به اسید بیافزاییم و یا اول اسید را به آب بیافزاییم، چون در هر روش نتیجه یکسان نمی‌باشد.
از این‌رو امروزه مدل‌های معتبری از ریاضیات به وجود آمده است که به‌عنوان نمونه در این مدل‌ها اعداد از ویژگی جابه‌جایی برخوردار نیستند و امروزه در مکانیک کوانتوم کاربرد گسترده‌ای دارند. همین نتیجه را می‌توان به بسیاری از ویژگی‌های دیگر اعداد نیز نسبت داد. ایدۀ بستار یعنی اعداد نسبت به عمل جمع بسته هستند. یعنی اعداد را هرچقدر با یک دیگر جمع کنیم باز هم نتیجه عدد خواهد بود. سؤالی که مطرح می‌شود این است که چطور می‌توان فهمید که در جمع دو عدد نتیجه همان عدد است یعنی ماهیت یکی است و تغییری در ماهیت رخ نمی‌دهد. اگر در ظرفی که چند عدد پرتقال وجود دارد باز هم تعدادی پرتقال اضافه کنیم ماهیت پرتقال‌ها تغییر نمی‌کند اما این مسئله به‌دلیل نوع آزمایش می‌باشد و ربطی به خاصیت ذاتی اعداد ندارد. یعنی اگر ما به‌جای پرتقال‌ها از عناصر شیمیایی استفاده کنیم، به نتیجه‌ای متفاوت می‌رسیم و اگر اعداد را براساس مدل رفتار عناصر شیمیایی تعریف کنیم، نتیجه این می‌شود که اعداد از ویژگی بستار هم برخوردار نیستند. در طول تاریخ اعداد بر اساس مدل‌های متفاوتی تعریف می‌شدند، به‌عنوان مثال در نظریه سهروردی که به‌ویژگی اعداد الهی می‌پردازد، وی بر این باور است که هر عدد ماهیت ویژۀ خودش را دارد و همین طور کارکرد مخصوص به خودش را و هیچ عددی از عدد دیگری نه بزرگ‌تر است و نه کوچک‌تر. سهروردی برای هریک از صفات خداوند عددی را قائل بوده است و این به‌معنای آن نیست که صفتی از خداوند بزرگ‌تر از صفت دیگر او باشد. او می‌گوید هرکدام از اعداد ویژگی خاص خودشان را دارند و که در این صورت اعداد نسبت به‌هم سنجش ناپذیر باقی می‌مانند.
یکی دیگر از معضلاتی که اعداد از آن برخوردار هستند، نسبت دادن ویژگی مجموعه به آن‌ها است. در ریاضیات به‌صورت مداوم از مجموعۀ اعداد صحبت می‌شود: مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد صحیح، مجموعه اعداد حقیقی و الی آخر. اما مجموعه بنا به تعریف می‌بایست کران داشته باشد، یعنی ابتدا و انتهای آن مشخص باشد. اما در مجموعه اعداد طبیعی کران انتهایی آن مشخص نیست، اما در ریاضیات معاصر آن را مجموعه فرض می‌گیرند و خواص مجموعه‌ها برای آن در نظر می‌گیرند. پس ما به چه مجوزی می‌توانیم از مجموعه اعداد یاد بکنیم، چرا که مجموعه می‌بایست انتها و پایان داشته باشد. این‌ها صرفا چند نمونه از معضلاتی بود که ریاضیات در بحث از ماهیات و ویژگی‌های اعداد با آن دست‌به‌گریبان است.
اما در طول تاریخ اعداد به غیر از ماهیت و ویژگی‌ها، رفتارهای عجیب و مسئله‌زای دیگری نیز به‌کرّات از خود نشان می‌دادند. یکی از قدیمی‌ترین این مسائل به یونان و پارادکس زنون باز می‌گردد. آیا وقتی یک‌تیر را از کمان پرتاب می‌کنیم این تیر به سیبل برخورد می‌کند؟ زنون براین باور بود که این برخورد اتفاق نمی‌افتد. او برخورد تیر را به سیبل غیرممکن می‌دانست و استدلالش این بود که این تیر برای برخورد با سیبل باید ابتدا نصف مسافت را بپیماید و سپس نصف باقی‌ماندۀ دیگر این مسافت را و ماجرا به همین روال ادامه می‌یابد. به این دلیل که هماره مسافتی وجود دارد که تیر برای برخورد با سیبل ابتدا باید نصف آن را بپیماید، این حرکت شامل یک سری بی‌نهایت است، پس تیر هیچ‌گاه به سیبل برخورد نمی‌کند. در حقیقت این ایده بسیار نزدیک به ایدۀ ارسطو بود که حرکت را ناممکن می‌دانست. زنون معتقد است که مکان و فاصلۀ طی شده تا بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است و با همین استدلال چالشی را بین اندیشه و تجربه طرح می‌کند، او در اندیشه اثبات می‌کند که تیر به‌هدف برخورد نمی‌کند در حالی که در تجربه مشاهده می‌کنیم که تیر به هدفش برخورد می‌کند. این پارادکس به‌عبارتی دیگر، چالشی بین مفهوم عدد و مفهوم پارهخط هندسی و طول آن است. در واقع ایدۀ زنون مدل اولیه‌ای از حساب دیفرانسیل به‌شمار می‌رود. اگر کل مسافت تیر با سیبل را یک‌فرض کنیم، تیر ابتدا ½ مسافت را طی می‌کند، در گام دوم نصف مسافت باقی‌مانده را طی می‌کند که معادل ¼ کل مسیر است و به همین ترتیب در گام سوم ⅛ کل مسیر را می‌پیماید. اگر این مسافت‌ها را با هم جمع کنیم به یک‌دنباله می‌رسیم که تعداد جمله‌های آن بی‌نهایت است و اطمینان داریم حاصل جمع این بی‌نهایت جمله از یک بیشتر نمی‌تواند باشد، چون درنهایت تیر به سیبل برخورد می‌کند و از سیبل نمی‌تواند عبور کند.
1 = … + ⅛ + ¼ + ½ . در واقع یونانیان با این پارادکس به نتیجۀ خیره کننده‌ای برای ریاضیات آن زمان دست یافته بودند، که می‌توان در یک حالت خاص بی‌نهایت عدد را با هم جمع کرد و به جواب رسید. آن هم جوابی که عبارت از عدد بسیار کوچکی مانند یک است. در اینجا شاهد حل یک‌‌مسئله جبری از طریق یک شکل هندسی هستیم چرا که از روی شکل ترسیمی مسئله می‌توان فهمید مسافت طی شده و جمع نهایی دنباله، بیشتر از یک نخواهد بود. این راه‌حل، این ایده را تقویت می‌کرد که ماهیت جهان مبتنی بر اشکال هندسی است و می‌بایست مسائل جبری و ریاضی را به‌طرق هندسی حل کرد. اهمیت هندسه در یونان نه تنها در ریاضیات بلکه برای شناخت ماهیت جهان تا آنجا بود که افلاطون بر در ورودی آکادمیش نوشته بود: «کسی که هندسه نمی‌داند داخل نشود.» فضا برای آنان تحقق نظم زیبا و دقیق هندسه بود، به همین دلیل فضای هندسی و فضای واقعی جهان دقیقا منطبق بر یکدیگر بودند و وحدت فضای هندسۀ اقلیدسی و فضای فیزیکی از بدیهیات به‌شمار می‌رفت. از این رو نجوم را هندسۀ افلاک می‌دانستند. گالیله معتقد بود: «کتاب طبیعت را به زبان ریاضی نوشته‌اند و علائم آن عبارت از دایره، مثلث و سایر اشکال هندسی است. بدون کمک این زبان و این اشکال هندسی ناممکن است یک کلمه از کتاب طبیعت را فهم کنیم.» این نوع نگاهی متداول و مرسوم بود که تا قرن هفدهم و نهایتا تا انقلاب فرانسه در ریاضیات و حتی در مباحث فلسفی دوام آورده بود. به‌عنوان مثال لوکا پاچولی (1445تا1517) ریاضی‌دان ایتالیایی و پدر علم حسابداری، از جبر تنها برای محاسبۀ طول پاره‌خط‌های هندسی بهره می‌برد. وی همسو با زمانه‌اش معتقد بود علم جبر را تنها برای تحقیق در خواص هندسی اشکال باید به کار گرفت. این نوع نگاه تا جایی پیش رفت که اثبات هر قضیه‌ای در ریاضیات به معنای ارایۀ راه حلی هندسی برای آن قضیه بود. حتی در فلسفه، اسپینوزا مدعی بود که مهم‌ترین اثرش یعنی کتاب اخلاق را بر اساس روشی که از هندسه اقتباس کرده نوشته است و کانت فضای هندسۀ اقلیدسی را ساختار ذاتی ذهن آدمی تعریف می‌کرد.
زمان و مکان هر دو از متغیرهای بنیادین جهان محسوب می‌شوند و بر اساس انگاره ای یونانی، هر دو کَمِّ متصل و مبتنی بر پیوستار فهم می‌شوند. از این رو تا قرن‌ها باور بر این بود که متغیرهای بنیادین عالم دارای ماهیتی پیوسته هستند. بنابراین معادلات جبری اگر بخواهند معادلاتی معنادار و حامل توصیفی از جهان بیرونی باشند، می‌بایست مرتبط با هندسه اقلیدسی و سه‌بعدی باشند که عبارت از اشکالی است که در طبیعت و جهان یافت می‌شود. همین نوع نگاه به ریاضیات محدودیت‌های زیادی را به آن تحمیل می‌کرد، چراکه تنها معادلاتی را می‌شد صورت‌بندی کرد که درجۀ آن‌ها از سه بیشتر نباشد و هیچ حکمی نمی‌توانست برای معادلات بیشتر از درجۀ سه اثبات شود. اما در قرن شانزدهم کاردانو (1501تا1576) توانست راه‌حلی جبری برای معادلات درجه سوم و چهارم ابداع کند. کاردانو با مسئلۀ بغرنجی روبه‌رو شده بود، از یک‌سو اثبات برای جامعه ریاضی آن زمان تنها عبارت از روش‌های هندسی بود و از سویی دیگر وی به‌نتایج جبری دست یافته بود که در قالب هندسۀ اجسام صلب، سه بعدی و با اندازه‌های متناهی بیان و صورت‌بندی نمی‌گردید. بعد از کاردانو، فرانسوا ویت ریاضی دان فرانسوی نیز اعداد را به‌صورت هندسی به کار نمی‌گرفت. وی از نخستین ریاضی‌دانانی بود که به‌جای اعداد از حروف در معادلات ریاضی استفاده می‌کرد. این روش حاکی از تغییری بود که رفته‌رفته از ماهیت مفهوم عدد در حال رخ دادن بود. ویت برای حل معادلات از نمودارهای هندسی استفاده نمی‌کرد. یکی از ابداعات وی استفاده از ابعادی بزرگ‌تر از سه در معادلات جبری بود، ابعادی که هیچ مصداق واقعی در طبیعت برای آن وجود نداشت. از این‌رو رفته‌رفته جبری در حال پا گرفتن بود که اثبات‌هایش تنها با نمادها صورت می‌پذیرفت. چنین شیوه‌ای بدعتی کفرآمیز در ریاضیات آن زمان تلقی می‌شد، چراکه ریاضیات در حال عدول از طبیعتِ سه بعدی و اقلیدسی بود که خداوند آفریده بود. چنین بدعت‌هایی سرانجام در کار دکارت به بسط نهایی خود رسید. از منظر ریاضیات ماقبل دکارتی، حاصل ضرب دو متغیر الزاما یک مساحت را تشکیل می‌دهد. به همین دلیل در این نوع ریاضیات هیچ‌گاه معادله‌ای شبیه Y= نمی‌توانست نوشته شود، چراکه Y عبارت از طول یک پارهخط است و طرف دیگر معادله یعنی عبارت از یک مساحت است و مشخص است که طول یک پارهخط هیچ‌گاه نمی‌تواند مساوی یک‌مساحت قرار بگیرد. به همین دلیل در معادلۀ + mx = n متغیر x یک پارهخط، ضریب m یک سطح و ضریب n یک حجم را تشکیل می‌دهد تا تمام عبارت‌های معادلۀ فوق از جنس حجم باشند. اما برای دکارت افزایش طول همان پارهخط تعبیر می‌شد و نه یک مساحت. از این رو دکارت با محدودیت توان سوم و یا حجم روبه‌رو نبود و می‌توانست هر متغیر را هر تعداد که مایل بود در خودش ضرب کند و همچنان در بُعد پاره خط باقی‌بماند. به همین دلیل برای دکارت معادلاتی از نوع Y= به‌راحتی می‌توانست نوشته شود و مورد محاسبه و اثبات قرار بگیرد. از اینجا به بعد بود که در معادلات ریاضی می‌توانستیم هر متغیر را با هر توانی که داشت مساوی با متغیر دیگری با توانی متفاوت قرار دهیم. اگر قبل از دکارت ریاضیات می‌کوشید تا معادلات جبری را تنها بر اساس روابط هندسی بفهمد، دکارت به‌شیوه‌ای معکوس کوشید تا خودِ روابط هندسی را به‌شکل جبری بیان کند تا نه تنها حل معادلات را از سلطۀ هندسه رها سازد، بلکه پارادایم حاکم بر روابط هندسی را نیز به‌شیوه‌ای جبری بنیان نهد و این‌گونه گام بلندی در ریاضیات برداشته شد. چنین تغییر پارادایمی در مفهوم اثباتِ ریاضی، مناقشات فراوانی را در اروپا به‌پا کرد که در اوج خود در انقلاب فرانسه با تحولات اجتماعی، سیاسی و مذهبی عمیقا گره خورده بود. حذف شهود، شکل‌های هندسی و روش‌های ترسیمی از مفهوم اثبات در ریاضیات منجر به صوری و انتزاعی شدن بیش از پیش ریاضیات گردید. اکنون ریاضی‌دانان در حال تجربۀ افق‌هایی بودند که ریاضیات را از هر مفهوم شهودی و طبیعت‌گرایانه رها می‌ساخت و زمینه برای ظهور انواع هندسه‌های نااقلیدسی، حساب بی‌نهایت خردها و گونه‌های متنوعی از ریاضیات صوری و انتزاعی فراهم می‌گشت.
